Métodos de integración Runge-Kutta y Regla Trapezoidal

El método de Runge-Kutta (RK) es un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, en esta documentación se muestra el de cuarto y sexto orden. Otro método agregado es la Regla Trapezoidal que puede ser explícita, para diferenciar los métodos de solución explícito e implícito se agregan los dos puntos siguientes:


Autor : Marco Polo Jácome Toss  
Fecha de creación :  12 de Septiembre del 2017
Licencia : GNU General Public License (GPL) 3.0
Plataforma : Scilab
Código fuente creado para dar solución numérica a múltiples ecuaciones diferenciales.
Actualizado : 04 de Abril del 2022

Método de integración explícito. En este método es posible calcular la aproximación en cada paso directamente evaluando la función f(x,y), como ejemplo de un método de integración explicito se muestra la regla del punto medio.

$y_{i+1}^{*}=y_{i}+hf(x_{i},y_{i})$

$y_{i+1}=y_{i}+\frac{h}{2}\left ( f(x_{i},y_{i})+f(x_{i}+h,y_{i+1}^{*}) \right )$

Donde

$y_{i+1}^{*}=y_{i}+hf\left (x_{i},y_{i} \right )$

$y_{i+1}^{}=y_{i}+\frac{h}{2}\left ( f\left (x_{i},y_{i} \right )+f\left (x_{i}+h,y_{i+1}^{*} \right ) \right ), 0\leq i\leq n-1$

Método de integración implícito. Las aproximaciones en este método vienen definidas por un sistema de ecuaciones implícito. En la siguiente ecuación se muestra la forma implícita del método de integración del punto medio.

$y_{i+1}=y_{i}+hf\left ( x_{i} + \frac{h}{2}, \frac{y_{i}+y_{i+1}}{2} \right ), 0\leq i\leq n-1$

La ventaja del "scripting" es poder dar solución en forma ordenada a n número de ecuaciones diferenciales.

Problemas de valor inicial

Se considera el problema de valor inicial (PVI) de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) :

$\left.\begin{matrix} y^{'}=f(x,y(x)))\\ y\left ( x_{0} \right )=y_{0} \end{matrix}\right\} y,f\in \mathbb{R}^{m},x\in \left [ x_{0},x_{N} \right]$

Lo anterior es bastante importante debido a que debemos indicar las condiciones iniciales para poder dar solución a una EDO.

1.1 ¿Por qué utilizar este código fuente ?

Debido a su simplicidad de resolver varias ecuaciones de estado es flexible para dar solución a modelos de máquinas eléctricas como para otros tipos de modelos que dependan principalmente del tiempo o en caso contrario que no involucre esta variable.

Las líneas de código siguientes pertenecen al archivo start.sce el cual contiene tres métodos de solución Rk4,Rk3 y Trapezoidal ya antes mencionados.


xxxxxxxxxx
getd .;
op=input('Seleccione la forma de solucion : RK4(1) / RK6(2) / RTRAPEZOIDAL(3) : ')
mnecudif(op)

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1.2 Lista de archivos dependientes

La siguiente lista de archivos (dependientes) muestra como se encuentra estructurado en forma general el programa y siempre debe ejecutar el archivo start.sce para poder llamar la lista restante de archivos con extensión *.sci .

Start
- attributes.sci
- ecuDif.sci
- rk4.sci (Multi ecuaciones)
- rk6.sci (Multi ecuaciones)
- rtrapezoidal (Multi ecuaciones)
- mnecudif

1.3 Ejecución del código fuente

De manera sencilla iniciamos el Start.sce e inmediatamente se indica el tipo de método a ocupar.


xxxxxxxxxx
**Seleccione la forma de solución : RK4(1) / RK6(2) / RTRAPEZOIDAL(3) : **

1.4 Ecuaciones diferenciales : ecuDif.sci

En el archivo ecuDif es necesario especificar las ecuaciones de estado, por lo que Xdot contiene dos ecuaciones de estado por este motivo se tiene dos variables Xdot(1,1) y Xdot(2,1). Estas variables se pasan a los archivos rk4.sci y rk6.sci junto con la variable de tiempo para poder dar solución a la EDO.

En este archivo se introducen las constantes y valores necesarios de las ecuaciones de estado con sus respectivas variables de estado representados con Xdot, todo es un arreglo matricial.


xxxxxxxxxx
function [Xdot]=ecuDif(t,x)
  m=0.5;
  b=0.1;
  L=0.5;
  g=9.81;
  k=b/(m*L);
 Xdot=zeros(2,1); //#Xdot
 Xdot(1,1)=x(2);
 Xdot(2,1)=-(g/L)*sin(x(1))-(k/m)*x(2);
endfunction

1.5 Método de Runge-Kutta 6to Orden : rk6.sci

Es necesario cambiar la línea del archivo rk4 o rk6 que contiene disp([t(i),r(1,i)',r(2,i)']) al incrementar las variables y ecuaciones o únicamente mostrar una al igual que las variables iniciales mostradas en el archivo attributes.sci.


xxxxxxxxxx
function [t,r]=rk6(t0, tf, N, conIni)
    matrixSize= size(conIni,1)
    if  (matrixSize==1) then
        conIni=conIni';
    end
h=(tf-t0)/N; //Paso
t(1) = t0;
r(:,1) = conIni; //Condiciones Iniciales
for i = 1:N  //Seccion Modificable para matriz
     disp([t(i),r(1,i)',r(2,i)']) // Cambiar #Xdot
   k1 = h*ecuDif(t(i), r(:,i));
   k2 = h*ecuDif(t(i)+h, r(:,i)+k1);
   k3 = h*ecuDif(t(i)+h/2, r(:,i)+(3*k1+k2)/8);  
   k4 = h*ecuDif(t(i)+(2*h)/3, r(:,i)+(8*k1+2*k2+8*k3)/27); 
   k5 = h*ecuDif(t(i)+((7-sqrt(21))*h)/14,r(:,i)+((3*k1*(3*sqrt(21)-7))-(8*k2*(7-sqrt(21)))+(48*k3*(7-sqrt(21)))-(3*k4*(21-sqrt(21))))/392);
   k6 = h*ecuDif(t(i)+(7+sqrt(21))*h/14, r(:,i)+(-5*k1*(231+51*sqrt(21))-40*k2*(7+sqrt(21))-320*k3*sqrt(21)+3*k4*(21+121*sqrt(21))+392*k5*(6+sqrt(21)))/1960); 
   r(:,i+1) = r(:,i)+(15*k1*(22+7*sqrt(21))+120*k2+40*k3*(7*sqrt(21)-5)-63*k4*(3*sqrt(21)-2)-14*k5*(49+9*sqrt(21))+70*k6*(7-sqrt(21)))/180;
   t(i +1) = t0 + i*h;
end
[t,r'];     
endfunction

1.6 Método de Runge Kuta 4to Orden : rk4.sci


xxxxxxxxxx
function [t,r]=rk4(t0, tf, N, conIni)
    matrixSize= size(conIni,1)
    if  (matrixSize==1) then
        conIni=conIni';
    end
h=(tf-t0)/N; //Paso
t(1) = t0;
r(:,1) = conIni; //Condiciones Iniciales
for i = 1:N  //Seccion Modificable para matriz
     disp([t(i),r(1,i)',r(2,i)']) //Cambiar #Xdot
   k1 = h*ecuDif(t(i), r(:,i));
   k2 = h*ecuDif(t(i)+h/2, r(:,i)+0.5*k1);
   k3 = h*ecuDif(t(i)+h/2, r(:,i)+0.5*k2); 
   k4 = h*ecuDif(t(i)+h, r(:,i)+k3);
   r(:,i+1) = r(:,i) + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6;
   t(i +1) = t0 + i*h;
end
[t,r'];     
endfunction

1.7 Método Trapezoidal : rtrapezoidal.sci


xxxxxxxxxx
function [t,r]=rtrapezoidal(t0, tf, N, conIni)
    matrixSize= size(conIni,1)
    if  (matrixSize==1) then
        conIni=conIni';
    end
h=(tf-t0)/N; //Paso
t(1) = t0;
r(:,1) = conIni; //Condiciones Iniciales
for i = 1:N  //Seccion Modificable para matriz
     disp([t(i),r(1,i)',r(2,i)']) //Cambiar #Xdot
   y1 = r(:,i)+h*ecuDif(t(i), r(:,i));
   y2 = r(:,i)+(h/2)*((ecuDif(t(i), r(:,i)))+(ecuDif(t(i)+h, y1)));
   r(:,i+1) = y2;
   t(i +1) = t0 + i*h;
end
[t,r'];     
endfunction

1.8 Valores Iniciales de Simulación : attributes.sci

El archivo contiene los atributos de la simulación y debe establecer el número de condiciones iniciales, las cuales dependen de las variables de estado a resolver siendo necesario modificar la impresión disp([t(i),r(1,i)',r(2,i)']) de los archivos rk4 y rk6.

ti: tiempo inicial de simulación.
tf: tiempo final de simulación.
varIni: variables iniciales.
muestras: muestras.

Los valores iniciales mostrados en el bloque siguiente son el tiempo inicial, tiempo final, valores iniciales en este caso para dos variables y el número de muestras.


xxxxxxxxxx
global ti tf varIni muestras    
ti=0;
tf=10;
varIni=[0.01, 0.02]; //Cambiar #Xdot
muestras=10000;

1.9 Opciones de solución: mnecudif.sci

Las opciones mencionadas en la parte 1.1 pertenecen al código siguiente :


xxxxxxxxxx
function mnecudif(alg)
   if(alg == 1) then
      [t,r]=rk4(ti,tf,muestras,varIni);
      plot(t,[r(1,:)',r(2,:)'])
      legend('Xdot(1)','Xdot(2)')
      xlabel('tiempo, seg')
      ylabel('Y')
      title('Solución Runge Kutta orden 4')
      xgrid
      elseif ( alg == 2) then
      [t,r]=rk6(ti,tf,muestras,varIni);
      plot(t,[r(1,:)',r(2,:)'])
      legend('Xdot(1)','Xdot(2)')
      xlabel('tiempo, seg')
      ylabel('Ysol')
      title('Solución Runge Kutta orden 6')
      xgrid
      elseif (alg == 3) then
      [t,r]=rtrapezoidal(ti,tf,muestras,varIni);
      plot(t,[r(1,:)',r(2,:)'])
      legend('Xdot(1)','Xdot(2)')
      xlabel('tiempo, seg')
      ylabel('Y')
      title('Solución Regla Trapezoidal Explicita')
      xgrid
   else
      disp('Error: Seleccione un método de solución ');
   end
endfunction

Ejemplo #1 Ecuación del péndulo

Un péndulo simple se define como una partícula de masa "m" suspendida "O" por un hilo inextensible de longitud "L" y de masa despreciable.

Aplicando la segunda Ley de Newton, siendo la aceleración de la partícula hacia adentro de la trayectoria circular se obtiene:

$ma_{n}=T-mg\cdot \cos \theta$

Siendo la aceleración de la partícula hacia adentro dada por:

$a_{n}=v^{2}/L$

La aceleración tangencial de la partícula es:

$a_{t}=dv/dt$

De la segunda Ley de Newton incluyendo la fricción se obtiene:

$ml\ddot{\theta}=-mg\sin \theta -kl\dot{\theta}$

El valor de k (fricción) esta dado por :

$k=\frac{b}{mL}$

Las variables de estado son :

$x_{1}=\theta, x_{2}=\frac{d\theta}{dt}$

Por lo tanto, las ecuaciones de estado son las siguientes:

$\dot{x_{1}}=x_{2}$

$\dot{x_{2}}=-\frac{g}{l}\sin x_{1} - \frac{k}{m}x_{2}$

Estableciendo la ecuaciones en el archivo ecuDif.sci y valores correspondientes.


xxxxxxxxxx
function [Xdot]=ecuDif(t,x)
  m=0.5;
  b=0.1;
  L=1.5;
  g=9.81; 
  k=b/(m*L);
 Xdot=zeros(2,1); //#Xdot
 Xdot(1,1)=x(2);
 Xdot(2,1)=-(g/L)*sin(x(1))-(k/m)*x(2);
endfunction

La solución paraXdot(1) y Xdot(2) de las ecuaciones de estado es:

Simulacion No.1

Ejemplo #2 Solución analítica y numérica

Utilizando el método de la transformada de Laplace se resolverá la ecuación diferencial siguiente:

\frac{d y}{d x} + 3 y = 13 S i n 2 t \forall y (0) = 6

Aplicando la transformada de Laplace a la Ecuación diferencial anterior se obtiene la solución para Y(S).

Y (S) = \frac{6 s^{2} + 50}{(s + 3) (s^{2} + 4)}

La solución en el dominio del tiempo se obtiene con la transformada inversa.

y (t) = 8 e^{- 3 t} - 2 C o s 2 t + 3 S i n 2 t

El resultado anterior se grafica con Scilab mediante el bloque siguiente:


xxxxxxxxxx
t=0:0.01:1;
y=8*exp(-3*t)-2*cos(2*t)+3*sin(2*t)
plot(t,y)
xlabel("Tiempo, seg.")
ylabel('y(t)')
title('Solución de la Ecuación Diferencial')
xgrid()

La solución de la ecuación diferencial y gráfica se muestra a continuación:

y (t) = 8 e^{- 3 t} - 2 C o s 2 t + 3 S i n 2 t

Solución ED

Para dar solución es necesario configurar el archivo ecuDif de la forma siguiente:


xxxxxxxxxx
function [Xdot]=ecuDif(t,x)
 Xdot=zeros(1,1); //#Xdot
 Xdot(1,1)=13*sin(2*t)-3*x(1)
endfunction

Modificamos las condiciones iniciales del archivo attributes como se muestra:


xxxxxxxxxx
global ti tf varIni muestras    
ti=0;
tf=1;
varIni=[6,0]; //Cambiar #Xdot
muestras=1000;

Se debe ajustar el archivo mnecudif para mostrar únicamente una solución, esta ecuación diferencial tiene una única variable.


xxxxxxxxxx
function mnecudif(alg)
if(alg == 1) then
[t,r]=rk4(ti,tf,muestras,varIni);
plot(t,[r(1,:)])
legend('Xdot(1)')
xlabel('tiempo, seg')
ylabel('Y')
title('Solución Runge Kutta orden 4')
xgrid
elseif ( alg == 2) then
[t,r]=rk6(ti,tf,muestras,varIni);
plot(t,[r(1,:)'])
legend('Xdot(1)')
xlabel('tiempo, seg')
ylabel('Ysol')
title('Solución Runge Kutta orden 6')
xgrid
elseif (alg == 3) then
[t,r]=rtrapezoidal(ti,tf,muestras,varIni);
plot(t,[r(1,:)'])
legend('Xdot(1)')
xlabel('tiempo, seg')
ylabel('Y')
title('Solución Regla Trapezoidal Explicita')
xgrid
else
disp('Error: Seleccione un método de solución ');
end
endfunction

Finalmente al realizar estas modificaciones podrás observar la solución siguiente:

Solución EDO

Copyright

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